ПРОЕ́КЦИЯ

Рис. 1.

Рис. 2.

ПРОЕ́КЦИЯ (от лат. projectio – бро­са­ние впе­рёд, вы­бра­сы­ва­ние), изо­бра­же­ние про­стран­ст­вен­ных фи­гур на плос­ко­сти (или на к.-л. дру­гой по­верх­но­сти). П. яв­ля­ет­ся ре­зуль­та­том опе­ра­ции про­ек­ти­ро­ва­ния (про­еци­ро­ва­ния), ко­то­рую мож­но оп­ре­де­лить сле­дую­щим об­ра­зом. Вы­би­ра­ют про­из­воль­ную точ­ку (рис. 1) S про­стран­ст­ва в ка­че­ст­ве цен­тра про­ек­ти­ро­ва­ния и плос­кость П′, не про­хо­дя­щую че­рез S, в ка­че­ст­ве плос­ко­сти про­ек­ций (кар­тин­ной плос­ко­сти). Что­бы спро­ек­ти­ро­вать точ­ку A (про­об­раз) про­стран­ст­ва на плос­кость П′, че­рез центр про­ек­ций S («глаз») про­во­дят пря­мую SA до её пе­ре­се­че­ния в точ­ке A′ плос­ко­сти П′. Точ­ку A′ (об­раз) и на­зы­ва­ют П. точ­ки A. Про­ек­ци­ей фи­гу­ры F на­зы­ва­ют со­во­куп­ность П. всех её то­чек. Пря­мая ли­ния, не про­хо­дя­щая че­рез центр П., про­ек­тиру­ет­ся в ви­де пря­мой. Опи­сан­ная П. но­сит на­зва­ние цен­траль­ной или ко­ни­че­ской. Она су­ще­ст­вен­но за­ви­сит от вы­бо­ра цен­тра про­ек­ций S. При про­ек­ти­ро­ва­нии то­чек дан­ной плос­ко­сти П на плос­кость П′ (рис. 2) встре­ча­ют­ся не­ко­то­рые труд­но­сти. На плос­ко­сти П име­ют­ся та­кие точ­ки, для ко­то­рых не су­ще­ст­ву­ет об­ра­зов на плос­ко­сти П′. Та­ко­ва, напр., точ­ка B, ес­ли про­ек­ти­рую­щая пря­мая SB па­рал­лель­на плос­ко­сти П′. Для уст­ра­не­ния это­го за­труд­не­ния, про­ис­хо­дя­ще­го от свойств евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, по­след­нее по­пол­ня­ют бес­ко­неч­но уда­лён­ны­ми (не­соб­ст­вен­ны­ми) эле­мен­та­ми. Имен­но, при­ни­ма­ют, что па­рал­лель­ные пря­мые BS и PA′ пе­ре­се­ка­ют­ся в бес­ко­неч­но уда­лён­ной точ­ке B′, то­гда её мож­но счи­тать об­ра­зом точ­ки B на плос­ко­сти П′. Ана­ло­гич­но – бес­ко­неч­но уда­лён­ная точ­ка C яв­ля­ет­ся про­об­ра­зом точ­ки C′. Бла­года­ря вве­де­нию бес­ко­неч­но уда­лён­ных эле­мен­тов ме­ж­ду точ­ка­ми плос­ко­сти П и точ­ка­ми плос­ко­сти П′ ус­та­нав­ли­ва­ет­ся вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие, осу­ще­ст­в­ляе­мое при по­мо­щи цен­траль­ной П. Та­кое со­от­вет­ст­вие но­сит на­зва­ние пер­спек­тив­ной кол­ли­неа­ции. См. так­же Про­ек­тив­ная гео­мет­рия.

Рис. 3.

Боль­шое прак­тич. зна­че­ние име­ет вид про­ек­ти­ро­ва­ния, при ко­то­ром цен­тром П. яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но уда­лён­ная точ­ка S_∞ про­стран­ст­ва (рис. 3). При этом все про­ек­ти­рую­щие пря­мые па­рал­лель­ны и П. на­зы­ва­ет­ся па­рал­лель­ной или ци­лин­д­ри­че­ской. Вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие ме­ж­ду точ­ка­ми плос­ко­стей П и П′, ус­та­нов­лен­ное при по­мо­щи па­рал­лель­но­го про­ек­ти­ро­ва­ния, на­зы­ва­ет­ся пер­спек­тив­но-аф­фин­ным или род­ст­вен­ным ото­бра­же­ни­ем.

Ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся ча­ст­ный вид парал­лель­но­го про­ек­ти­ро­ва­ния, ко­гда плос­кость про­ек­ции рас­по­ло­же­на пер­пен­ди­ку­ляр­но (ор­то­го­наль­но) к на­прав­ле­нию про­ек­ти­ро­ва­ния. П. в этом слу­чае на­зы­ва­ет­ся пря­мо­уголь­ной или ор­то­го­наль­ной.

Рис. 4. Рис. 5.

Од­ним из спо­со­бов изо­бра­же­ния пред­ме­тов на чер­те­же при по­мо­щи па­рал­лель­ных про­ек­ций яв­ля­ет­ся ак­со­но­мет­рия. Для по­строе­ния ак­со­но­мет­рич. про­ек­ции про­стран­ст­вен­ной фи­гу­ры по­сту­па­ют сле­дую­щим об­ра­зом: вы­би­ра­ют три вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные оси и мас­шта­бы длин на этих осях. За­тем про­ек­ти­ру­ют на плос­кость чер­те­жа дан­ную фи­гу­ру и эти оси вме­сте с мас­шта­ба­ми. Ес­ли X, Y, Z – дли­ны трёх от­рез­ков в фи­гуре, то ак­со­но­мет­рич. про­ек­ции этих от­рез­ков, па­рал­лель­ные ак­со­но­мет­рич. осям, бу­дут иметь дли­ны x, y, z. От­но­ше­ния длин l_x=x/X, l_y=y/Y, l_z=z/Z на­зы­ва­ют­ся по­ка­за­те­ля­ми ис­ка­же­ния. Наи­бо­лее час­то упот­реб­ля­ют­ся ак­со­но­мет­рии, для ко­то­рых l_x:l_y:l_z=1:1:1 (изо­мет­рия, рис. 4) и l_x:l_y:l_z=1/2:1:1 (ди­мет­рия, рис. 5).

Спец. ви­ды про­ек­ти­ро­ва­ния на плос­кость, сфе­ру и др. по­верх­но­сти ис­поль­зу­ют­ся в гео­гра­фии (кар­то­гра­фи­че­ские про­ек­ции), ас­тро­но­мии, кри­стал­ло­гра­фии, то­по­гра­фии и т. д.